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fix: change math expressions so gitea can render it

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aaron
2026-06-18 11:39:02 +02:00
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commit e3399d52f8
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NSL/notizen/L1_Notizen.md
+7 -23
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@@ -136,42 +136,26 @@
- Streuung um den Mittelwert - Streuung um den Mittelwert
- Population vs. Stichprobe (Bessel-Korrektur mit $n-1$): - Population vs. Stichprobe (Bessel-Korrektur mit $n-1$):
$$ $$ \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \qquad s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 $$
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2
\qquad
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2
$$
- Kovarianz - Kovarianz
- Mass für das *gemeinsame* Streuen zweier Variablen (steigen sie zusammen oder gegenläufig?) - Mass für das *gemeinsame* Streuen zweier Variablen (steigen sie zusammen oder gegenläufig?)
- Hinweis: Kovarianz ist *nicht* die Steigung — die Regressionssteigung ist $\beta = \mathrm{Cov}(X,Y)/\mathrm{Var}(X)$ - Hinweis: Kovarianz ist *nicht* die Steigung — die Regressionssteigung ist $\beta = \mathrm{Cov}(X,Y)/\mathrm{Var}(X)$
- Ist nicht begrenzt im Gegensatz zur Korrelation ($\rho = \mathrm{Cov}(X,Y)/(\sigma_X \sigma_Y) \in [-1, 1]$) - Ist nicht begrenzt im Gegensatz zur Korrelation ($\rho = \mathrm{Cov}(X,Y)/(\sigma_X \sigma_Y) \in [-1, 1]$)
$$ $$ \mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) $$
\mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})
$$
- Kovarianz-Matrix - Kovarianz-Matrix
- Für zentrierte Datenmatrix $X_c \in \mathbb{R}^{n \times d}$ (Mittelwert pro Spalte abgezogen): - Für zentrierte Datenmatrix $X_c \in \mathbb{R}^{n \times d}$ (Mittelwert pro Spalte abgezogen)
$$
\Sigma = \frac{1}{n}\, X_c^{\top} X_c
\qquad
\Sigma_{jk} = \mathrm{Cov}(X_j, X_k)
$$
- $d \times d$, symmetrisch, positiv semidefinit - $d \times d$, symmetrisch, positiv semidefinit
- Diagonale = Varianzen, off-diagonal = Kovarianzen - Diagonale = Varianzen, off-diagonal = Kovarianzen
$$ \Sigma = \frac{1}{n}\, X_c^{\top} X_c \qquad \Sigma_{jk} = \mathrm{Cov}(X_j, X_k) $$
- Eigenwert-Problem (Lambda) - Eigenwert-Problem (Lambda)
- Korrektur: die *Eigenwerte* $\lambda$ sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms (nicht die Eigenvektoren) - Korrektur: die *Eigenwerte* $\lambda$ sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms (nicht die Eigenvektoren)
- $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \iff (A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ - Definition: $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \iff (A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$
- Nicht-triviale Lösung existiert nur, wenn: - Nicht-triviale Lösung existiert nur, wenn $\det(A - \lambda I) = 0$ (charakteristisches Polynom)
$$
\det(A - \lambda I) = 0 \quad \text{(charakteristisches Polynom)}
$$
- Vorgehen: 1) $\lambda$ aus dem char. Polynom bestimmen, 2) je $\lambda$ den Eigenvektor $\mathbf{v}$ aus $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ lösen - Vorgehen: 1) $\lambda$ aus dem char. Polynom bestimmen, 2) je $\lambda$ den Eigenvektor $\mathbf{v}$ aus $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ lösen
- In der PCA: Eigenwert $\lambda_i$ = Varianz entlang PC$_i$; Gesamtvarianz $= \mathrm{tr}(\Sigma) = \sum_i \lambda_i$; erklärter Varianzanteil $= \lambda_i / \sum_j \lambda_j$ - In der PCA: Eigenwert $\lambda_i$ = Varianz entlang PC$_i$; Gesamtvarianz $= \mathrm{tr}(\Sigma) = \sum_i \lambda_i$; erklärter Varianzanteil $= \lambda_i / \sum_j \lambda_j$